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2010-2011(一)复变函练*题

发布时间:

复变函数
一、判断正误: 判断正误:
1.

1 dz = 0 . ( 3z + 5 z =1





19. 2 Re z = z + z .(
1

) )

2 dz = 2π i . 2. ∫ ( 7z + 1 z =1

的本性奇点. 20. Z = ∞ 是函数 e z 的本性奇点. ( ) 21., Im z = )
1 ( z ? z ) .( 2i



存在, 解析. 3.若 f ′( z0 ) 存在,则 f ( z ) 在 z0 解析. (

4 .若 f ( z ) 在 z 0 不 解 析 , 则 f ′ ( z 0 ) 不 存 ( 在. ) 5. z = ∞ 为函数 6.级数 ∑
∞ ∞

23.若 f ( z ) 在曲线 C 上每点可导,则 f ( z ) 在 C 上每点可导,

上解析. ( 上解析.



24.若 f ( z ) 在直线 y = x 上处处可导,则 f (z ) 在点 z 上处处可导,
1 的孤立奇点. 的孤立奇点. ( cos 3z



解析. ( 解析.

) ) ) ) ) ) )

25. e z = e Z .(
26. ω = z 解析. ( 解析.

(6 + 5i )n 收敛. 收敛. ( 4n n =1
n



( ?1) 1 i ] 收敛. 7.级数 ∑ [ + n 收敛. ( n 2 n =1
9. 0 的辐角是 0. ( )

27. Z Z = Z . ( )

2

28. Z1 + Z 2 ≤ Z1 + Z 2 . ( )
1

处不连续. 8. f ( z ) = arg z 在点 z0 = π 处不连续. (

29. Re s [e z , ∞ ] = ?1 . (
1

10. 10. 对任意复数 z ,都有 cos z = cos z . (

z 的本性奇点. ( ) 30. Z = ∞ 是函数 e 的本性奇点.

1 11. 11. ∫ 2 dz = 0 . ( z z =2
12. z = 0 为函数



1 31. ∞为 cos 的孤立奇点. ( z 32.∞ 32.∞为 cot z 的孤立奇点.( )



ln(1 + z ) 的二阶极点. 的二阶极点. ( z2

) ) )

33. 每 一 个 幂 级 数 的 和 函 数 在 收 敛 圆 内 无 奇 ( 点. )

13. 1 + i < 2 + 3i .14. 1 + i < 2 + 3i .( 15. z = 0 为函数 f ( z ) =
tan z 的二阶极点. 的二阶极点. ( z3

34. 解 析 函 数 的 实 部 是 其 虚 部 的 共 轭 调 和 函 ( 数. )


16. Re s [

ln(1 + z ) , 0] = 0 . ( z

35. 设级数 ∑ cn ( z + 2)n 在 z = 0 点发散, 点发散, 则该级数在 z
n =1



也发散. 也发散. (




ez ?1 的可去奇点. 17. Z = 0 是函数 的可去奇点. ( z

) )

36. 时收敛, 设级数 ∑ cn ( z ? 2)n 当 z = 4 时收敛, 则该级
n =1

18. f ( z ) = arg z 在点 z0 = ? 2 处不连续. 处不连续. (

时也收敛. ( 数在 z = 1 + i 时也收敛.


1

二.填空题
1.复参数方程 z 标方程为 2.复参数方程 z 标方程为 3.方程 sin z ? cos z 解 4.幂级数 为 5 . 幂 级 数 是 6. . 为参数) = 2cos t + i 2 sin t (t 为参数)的直角坐 . 为参数) = 5cos t + 3i sin t (t 为参数)的直角坐 . 10. 方程 8.

sin z dz = ( z + 2 )3 z ?1 = 4





9. 复数

?1 + i

的指数形式为 的全部解为

. .

e 5z = ? i

= 0 在复数范围内的全部
. 11.

Re s[

∑ (1 + n )
n =1



1 + sin z , 1] = ( z ? 1)2
z + ez , 0] = z2




1

n2

zn

的收敛半径 12. 12.

Re s[





∑ (3 + 4i )
n =1



n

zn

的 收 敛 半 径

13.

Re s[

ez ? 1 , 0] = z2

14. 设 0 为 函 数 . = 为 . .

f ( z ) = z (1 ? cos z ) 的 m 阶 零 点 , 则 m
在复数范围内的全部解

∑ (4 + 7i )
n= 0



1

n

的收敛半径为R= z n 的收敛半径为R=

15. 方 程

sin z ? cos z = 0


7.

e3z ∫ z 2 dz = z?3 =2 ?

三.选择题
1.下列等式中,对任意复数 z 不成立的等式是( ) .下列等式中, 成立的等式是( (A) )

(C )

ω = ez

; ( D) ω

= Re z .


sin z ≤ 1 ;

1 iz (e ? e ? iz ) ; (B) sin z = ) 2i
(D) cos′ z )

4.下列结论错误的是( 4.下列结论错误的是( 下列结论错误的是

1 (z ? z) ; (C) Im z = ) 2i

= ? sin z .


(A )



z =r

1 dz = 0 ( r > 0 且 r ≠ 1 ) . ( z ? 1)2
ln(1 + z ) 的可去奇点. 的可去奇点. z
(D)

2.下列等式中,对任意复数 z 不成立的等式是( .下列等式中, 不成立的等式是( (A) Z )

(B ) Z

= 0 是函数

= 0 是函数

ln(1 + z ) 的二阶极点; 的二阶极点; z3
(C) Ln( ? 3i ) = )

( C )若

f ( z ) 为解析函数,则 i f ( z ) 也为解析函数. 为解析函数, 也为解析函数.

(B) Re s [e )

z

, ∞] = 0 ;
1 z

ln 3 ?

π
2



Z = ∞ 是函数 e z 的本性奇点. 的本性奇点.
5.下列说法错误的是( 5.下列说法错误的是( 下列说法错误的是 )

(D) Z )

= ∞ 是函数 e

的可去奇点. 的可去奇点. )

3.下列函数中,不解析的函数是( 下列函数中, ... 的函数是( (A ) ω

(A)每一个幂级数的和函数在收敛圆内无奇点. 每一个幂级数的和函数在收敛圆内无奇点. (B) Ln( ?1) = ( 2k 为整数. + 1)π i , k 为整数.

= z 3 ? cos z ;

(B )

ω = 3z 2 + e z



2

(C)若

f ( z ) 在 0 < z ? z0 < δ

内解析, 内解析,则

f ( z ) 一定可以

(C) 若

f ( z ) 在点 z0 解析, f ( z ) 一定可以在点 z0 的邻域 解析, 则

在0 <

z ? z0 < δ

内展开成洛朗级数. 内展开成洛朗级数.

内展开成泰勒级数. 内展开成泰勒级数.
1

(D)解析函数的实部是其虚部的共轭调和函数. 解析函数的实部是其虚部的共轭调和函数. 6.下列结论错误的是( 6.下列结论错误的是( 下列结论错误的是 )

(D)

Re s [e z , ∞ ] = 1 .
=

7.已知 7.已知 z 为不通过原点的简单闭曲线, (A)C 为不通过原点的简单闭曲线,则


C

1 dz = 0 . z2

1? i 1+ i

,则 z

100

的值为( + z 25 ? 1 的值为(



(B)

(A ) ? i

(B ) i

(C)1

(D)-1 )-1

f ( n ) ( z0 ) =

n! 2π i



f (z) dz . z ? z0 =1 ( z ? z )n + 1 0

四.解答题: 解答题:

1. 设 f ( z ) =
5

1 9 z + ( ? 2 + 2i ) z ,求方程 f ′( z ) = 0 的全部解. 的全部解. 7

2.求方程 在复数范围内的全部解. 2.求方程 z + 4 = 4i 在复数范围内的全部解. 3. 函数 4.已知

f ( z) = 3 y3 + 2 x 2i

在复*面内何处可导,何处解析. 在复*面内何处可导,何处解析.求 f ′( ?9 + 2i ) .

u = 2 x 2 + 2 xy ? 2 y 2 ,求解析函数 f ( z ) = u + iv ,使 f ( i ) = ?2 + i . 使

2 2 5.已知 v = x ? y ? 2 y ,求解析函数 f ( z ) = u + iv 使 f (1) = i .

6.设 m , n, l 为实数,函数 f ( z ) = my 3 + nx 2 y + i ( x 3 + lxy 2 ) 在复*面内处处解析,求 m , n, l . . 为实数, 在复*面内处处解析, 7.计算 7.计算 8. I =

I = ∫ cos π zdz ,其中 C 为圆周: z ? 1 = 1 的*氩糠执 z1 = 0 到 z2 = 2 的半圆周. 为圆周: 的半圆周.
C



C

(3z 2 + 2e z )dz ,其中 C 为自原点沿实轴到 3,再由 3 沿铅直方向向上到 3 + 2i .

9.计算 9.计算 I =

ez ∫ z 2 + 4z + 8 dz . z+i =3

10.计算 10.计算 I =

1 dz z ( z + i )8 ( z ? 4) z =3



11. 11. I =

ez ∫ z( z + 3)2 dz . z +1 = 3
+∞

12. .

I=

ez ∫ z 2 + 4 dz . z+i =2 z4 ∫ 2 z 5 + 1 dz . z =1

13. .

I=∫

?∞

sin x dx . 2 x + 4x + 8

14. 14.计算积分

16. I = .



+∞

?∞

x2 dx . ( x 2 + 25)2
3

17.将函数 f ( z ) =

z ?1 点展开成泰勒级数,并求收敛半径. 在 z = 1 点展开成泰勒级数,并求收敛半径. 1+ z

解:由于 f ( z ) =

z ?1 z ?1 1 = ? ,而 1+ z 2 1 + z ?1 2

∞ 1 z ?1 n = ∑ (?1) n ( ) z ? 1 n =0 2 1+ 2

所以 f ( z ) =

∞ z ?1 1 z ? 1 n +1 ∞ (?1)n ? = ∑ (?1) n ( ) = ∑ n +1 ( z ? 1) n +1 .且收敛半径为 R = 1 ? (?1) = 2 . 2 1 + z ? 1 n =0 2 n=0 2 2

18. 将函数

f (z) =

1 z +1
2

在区域 0 < z ? i < 2

内展开成洛朗级数. 内展开成洛朗级数.

19.将函数 19.将函数 f ( z ) =

1 点展开成泰勒级数,并求收敛半径. 在 z = i 点展开成泰勒级数,并求收敛半径. ( z + i )2 1 ( z + i )z 2
在区域

20.将函数

f (z) =

1 < z + i < +∞

内展开成洛朗级数. 内展开成洛朗级数.

解: f ( z ) =

1 ,当 1 < z + i < +∞ 时, ( z ? i) z 2

1 1 1 1 1 ∞ i n ∞ in ( ) =∑ = = ? = , ∑ n +1 z z + i ? i z + i 1? i z + i n=0 z + i n=0 ( z + i) z +i
∞ ∞ 1 1 ?1 1 in n +1 ′= ′ = ∑ in = ?( ) ? [∑ ] 因此 f ( z ) = . 2 n +1 ( z + i) z z+i z z + i n =0 ( z + i ) ( z + i )n +3 n =0

21. 设 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ) 为 z = x + iy 的解析函数,且已知 u( x , y ) ? v ( x , y ) = x + y ,求函数 f ( z ) . 的解析函数,
px 的值, 为调和函数, 22. 设 v = e sin y ,求 p 的值,使 v 为调和函数,并求出解析函数 f ( z )=u + iv .

五.证明题: 证明题:
1.设函数 f ( z ) = .

Im z 极限不存在. ,试证函数 f ( z ) 在 z = 0 处极限不存在. z
x →0

证明: 证明:∵ lim f ( z ) = lim
y = kx x →0 y = kx

y k = x + iy 1 + ki

的变化而变化, 极限值随 k 的变化而变化,故

lim f ( z ) 不存在 .
z →0

2.设函数 f ( z ) = .

Re z 不连续. ,试证函数 f ( z ) 在 z = 0 处不连续. z

内解析, 恒为纯虚数.证明: 是常数. 3.设 3.设 f ( z )=u + iv 在区域 D 内解析,且函数 f ( z ) 恒为纯虚数.证明: f ( z ) 是常数.
4

证明: 因为 函数 f ( z )=u + iv 恒为纯虚数, 所以 u = 0 . 又因为函数 f ( z )=u + iv 在区域 D 内解析, 恒为纯虚数, 内解析, 证明: 由 C—R 方程得

?v ?u ?v ?u =? = 0, = = 0 ,所以 v 为常数,故 f ( z ) = iv 是常数. 为常数, 是常数. ?x ?y ?y ?x

内解析, 内为调和函数. 4. 设 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ) 在区域 D 内解析,证明函数 u( x , y )v ( x , y ) 在区域 D 内为调和函数. 5.证明:一对共轭调和函数的乘积为调和函数. 5.证明:一对共轭调和函数的乘积为调和函数. 证明 的共轭调和函数, 证 设ψ ( x, y ) 是 ? ( x, y ) 的共轭调和函数,则

ψ ( x, y ) , ? ( x, y ) 具有二阶连续偏导数
?? ?ψ ?? ?ψ ? 2? ? 2? ? 2ψ ? 2ψ = , =? + = 0. 且 2 + 2 =0 , ?x ?y ?y ?x ?x ?y ?x 2 ?y 2
有二阶连续偏导数, 又设 H ( x, y ) = ? ?ψ ,则 H ( x, y ) = ? ?ψ 有二阶连续偏导数,且

′ ′ ′′ ′ ′ ′′ H x′ ( x, y ) = ? x ?ψ + ? ?ψ x ? H xx′′ ( x, y ) = ? xx ?ψ + 2? x ?ψ x + ? ?ψ xx 同理可求

H yy′′ ( x, y ) = ? ′′ ?ψ + 2? ′ ?ψ ′ + ? ?ψ ′′ yy y y yy
所以 H xx′′ ( x, y ) + H yy′′ ( x, y )

′′ ′ ′ ′′ ′′ ′′ ′ ′ = ? xx ?ψ + 2? x ?ψ x + ? ?ψ xx + ? ′′ ?ψ + 2? ′ ?ψ ′ + ? ?ψ ′′ = (? xx + ? ′′ )ψ + ? (ψ xx + ψ ′′ ) + 2? x ?ψ x + 2? ′ ?ψ ′ yy y y yy yy yy y y
?? ?ψ ?? ?ψ , =? = ?x ?y ?y ?x

′ ′ = 2(? x ?ψ x + ? ′ ?ψ ′ ) ======= 0 . 故 结论成立. 结论成立. y y
为不全为零的实常数. 证明: 内必为常数. 6. au + bv = c ,其中 a,b,c 为不全为零的实常数. 证明: f ( z ) 在区域 D 内必为常数. 7. 设 f ( z ) 在 z ≤ 1 上解析,且在 z = 1 上有 f ( z ) ? z < z ,试证: 上解析, 试证: 证明 因为在 z = 1 上有

?1? f ′? ? ≤ 8. ? 2?

z?

1 1 1 1 成立, ≥ z ? = 1 ? = , f ( z ) ? z ≤ z 成立, f ( z ) = f ( z ) ? z + z ≤ f ( z ) ? z + z < 2 z = 2 , 2 2 2 2

1 Q f ( z ) 在 z ≤ 1 上解析,且 ∈ z z ≤ 1 , 上解析, 2

{

}

1 ?1? f ′? ? = ? 2 ? 2π i



f ( z)
z =1

1? ? ?z? ? 2? ?

2

dz ≤

1 2π



f ( z)
z =1

1? ? ?z? ? 2? ?

2

dz ≤

1 2π



z =1

2 1 ds ≤ 8 × 2π = 8 . 1 2 2π ( ) 2

5



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