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甘肃省天水市第一中学2016届高三数学上学期10月月考试题 文

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天水市一中 2013 级 2015—2016 学年度第一次考试试题 数学文(*行)
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是满足题目要求的,把正确选项的代号填在答题卡上。 ) 1.若集合 A ? {x A.3 个 2.设 z ? A. 3

x ? 3 ? 4} 则 B ? ? y
C.1 个

? 6 ? N ? , y ? A ? 中元素的个数为( ) ? y
D.2 个 ) C.2 D. 2

B.4 个

2 2 ? ?1 ? i ? ,则 z =( 1? i
B.1

3.设a 、 b 是两个单位向量,其夹角为 ? ,则“ ? ? ?

? 6

? ”是“| a ? b |? 1 ”的( ) 3

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.下列有关命题的说法错误的是( ) (A)命题“若 x2 ? 1 ? 0 , 则 x ? 1 ”的逆否命题为: “若 x ? 1 则 x2 ? 1 ? 0 ” (B)“ x ? 1 ”是“ x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 (C)若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题
2 0 (D)对于命题 p : ?x ? R 使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R 均有 x ? x ? 1…

2

???? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? 5.△ABC 中,AB 边的高为 CD,若 CB ? a, CA ? b , a · b =0,| a |=1,| b |=2,则 AD =
( ) B、

1? 1? A、 a ? b 3 3

2? 2? a? b 3 3

C、

3? 3? a? b 5 5

D、

4? 4? a? b 5 5

6. 将函数 y ? 3 cos x ? sin x ( x ? R) 的图象向左*移 m (m ? 0) 个单位长度后, 所得到的图象关 于 y 轴对称,则 m 的最小值是( A. ) D.

? 12

B.

?
6

C.

?
3

5? 6


7.函数 y ? x cos x ? sin x 的图象大致为(

-1-

8.在等差数列 {an } 中,若 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 240 ,则 a9 ? A. 30 B. 31 C. 32 D. 33

1 a11 的值为( 3



9.已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) ? ? ? 0, ? ? 是( )

? ?

??

? 的图像如图所示,则函数 f ( x) 的解析式 2?

A. f ( x) ? 2sin ?

? ? ? 10 x? ? 6 ? ? 11
? ?

B. f ( x) ? 2sin ?

? ? ? 10 x? ? 6 ? ? 11

C. f ( x) ? 2sin ? 2 x ?

? ?
? 6 ?
a

D. f ( x) ? 2sin ? 2 x ?
b

? ?

? ?
? 6 ?

?1? ?1? 10.设 a,b,c 均为正数,且 2 ? log 1 a , ? ? ? log 1 b , ? ? ? log 2 c ,则 ( ) ?2? ?2? 2 2
A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. c ? a ? b D. b ? a ? c ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b?0, 11. 设向量 a, b 满足 a ? b ? 1, a? 若向量 c 满足 c ? a ? b =1 , 则 c 的取值范围是 ( (A) [ 2 -1, ) 1

c

2 +1 ] (B) [ 2 -1,

2 +2 ] (C) [1,

2 +1 ] (D) [1,

2 +2 ]

12.已知直线 y=mx 与函数

的图象恰好有 3 个不同的公共点,则实

数 m 的取值范围是( A.( ,4) B.(

) ,+∞) C.( ,5) D.( , )

-2-

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把正确答案填在答题卡的相应位置。 ) 13.设 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,若 f(2)>1,f(2014)= 实数 a 的取值范围是________. 14.已知 三点 A(?1,?1) 、 B(3,1) 、 C (1,4) ,则向量 BC 在向量 BA 方向上的投影为________ 15.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , sin( A ? ? ) ? 2 cos( B ? C ) ? 0 .则 6

2a ? 3 ,则 a ?1

A =_______.
16.若等差数列 {an } 满足 a7 ? a8 ? a9 ? 0, a7 ? a10 ? 0 ,则当 n ? 时,数列 {an } 的前 n

项和最大. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 17. (本题满分 10 分)已知函数 f ?x ? ? 3 sin ??x ? ? ? ? ? ? 0, ? 线x?

? ?

?
2

?? ?

??

? 的图像关于直 2?

?
3

对称,且图像上相邻两个最高点的距离为 ? .

(1)求 ? 和 ? 的值; (2)若 f ?

3 ?? 2? ? 3? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ,求 cos?? ? ? 的值. 2 ? 3 ? ? ?2? 4 ?6

18.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 3(sin 2 x ? cos2 x) ? 2sin x cos x . (1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)设 x ? [ ?

? ?

, ] ,求 f ( x) 的值域和单调递增区间. 3 3

19. (本题满分 12 分) 在 ?ABC 中, 已知 3 tan A tan B ? 3 ? tan A ? tan B , 记角 A,B,C 的对边依次为 a , b, c . (1)求角 C 的大小; (2)若 c ? 2 ,且 ?ABC 是锐角三角形,求 a ? b 的取值范围. 20. (本题满分 12 分)已知等差数列 {an } 满足: a5 ? 11, a2 ? a6 ? 18 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若

bn ? an ? 3n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n .

21. (本题满分 12 分)已知 k 为实数, f ( x) ? ( x2 ? 4)( x ? k ) . (1)求导数 f ?( x) ; 2] 上的最大值和最小值; (2)若 x ? ?1 是函数 f ( x) 的极值点,求 f ( x) 在区间 [ ?2,

-3-

? 2 ? 和 ? 2, ? ∞? 上都是单调递增的,求实数 k 的取值范围. (3)若 f ( x) 在区间 ? ?∞,
22. (本题满分 12 分)已知 f ?x? ? x ln x, g ?x? ? x 3 ? ax2 ? x ? 2 (Ⅰ)求函数 f ?x ? 的单调区间; (Ⅱ)求函数 f ?x ? 在 ?t , t ? 2??t ? 0? 上的最小值; (Ⅲ)对一切的 x ? ?0,??? , 2 f ?x ? ? g ' ?x ? ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围.

-4-

数学考试答案 BDACD BCCCA AB 13. ? 1 ? a ?

2 3

14,

5 5

15.60 度 16. 8 17. 【答案】 (1) ? ? 2, ? ? ?

?
6

; (2)

3 ? 15 8

解: (1)因 f ? x ? 的图象上相邻两个最高点的距离为 ? ,所以 f ? x ? 的最小正周期 T ? ? ,从 而? ?

2? ?2. T

又因 f ? x ? 的图象关于直线 x ?

?
3

对称,所以

2?

?
3

? ? ? k? ?

?
2

, k ? 0, ?1, ?2,? , 因 ?

?
2

?? ?

?
2

得k ? 0

所以 ? ?

?
2

?

2? ? ?? . 3 6

(2)由(1)得 f ?

3 ?? ? ? ? ?? ? ? 3 sin ? 2 ? ? ? ? ?2? ? 2 6? 4

所以 sin ? ? ? 由

? ?

??

1 ?? . 6? 4

?
6

?? ?

2? ? ? 得0 ?? ? ? , 3 6 2
2

?? ?? 15 ? ?1? 2? . 所以 cos ? ? ? ? ? 1 ? sin ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? 6? 6? 4 ? ? ?4?
因此 cos ? ? ?

? ?

3? 2

?? ?? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? sin ? ? sin ?? ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? cos ? cos ? ? ? ? sin 6? 6 6? 6 6 ? 6? ? ? ? ??

=

1 3 15 1 3 ? 15 ? ? ? ? 4 2 4 2 8

18. 【答案】 (1) ? (2) [?2, 3] , f ( x ) 的递增区间为 ? ?

? ? ?? , ? 12 3 ? ?

【解析】 试题分析: (1)本题考察的三角函数的最小正周期,需要通过二倍角公式和辅助角公式可以

-5-

把已知函数整理成 y ? A sin ?? x ? ? ? 的形式,然后通过周期公式 T ? 数的最小正周期.

2?

?

,即可求出所求函

(2)本题考察的是正弦函数的值域和单调区间问题,由(1)知函数 f ( x ) 的解析式,然后根 据所给定义域求出 2 x ?

?
3

的取值范围,进而判断函数的最小值和最大值是多少,就可以求出

函数的值域;然后把 2 x ? 数的单调递增区间. 试 题

?
3

代入到正弦函数的递增区间内,解出 x 的取值范围,就是所求函









1





f ( x) ? ? 3(cos2 x ? sin 2 x)+2sin x cos x ?
? f ( x) 的最小正周期为 ? .
(2)∵ x ? [ ?

3

?x

c

o x ?

?
3

s

2x

?s

? ?
?

??? ? 2 x ?

?
3

, ], 3 3

?

3



∴ ?1 ? sin(2 x ?

?
3

)?

3 . 2

? f ( x) 的值域为 [?2, 3] .
当 y ? sin(2 x ? 由?

?
3

) 递增时, f ( x) 递增.

?
2

? 2x ?

?
3

?

?
3

,得 ?

?
12

?x?

?
3



故 f ( x ) 的递增区间为 ? ?

? ? ?? , . ? 12 3 ? ?

考点:正弦函数的周期性和单调性 19【答案】 (1) 【解析】 (1)依题意: tan A ? tan B ? ? 3 ,即 tan( A ? B) ? ? 3 ,又 0 ? A ? B ? ? ,
1 ? tan A tan B

? ; (2) 3



A? B ?

2? ,∴ 3

C ?? ? A? B ?
?

?
3
?

, 由正弦定理得 a
b c 得 ? sin B sin C

A ? ,即 ? ? (2)由三角形是锐角三角形可得 ? ? ? A? 2 ? ?B ? ? ? ? 2
6

2

sin A

?

-6-

a?

c 4 ? sin A ? sin A , b ? 4 sin B ? 4 sin( 2? ? A) (1)直接由已知等式及三角函数的诱导公式可 sin C 3 3 3 3

得到 sin A ? 3 cos A ,再由同角三角函数的基本 关系即可求出角 A 的大小; (2)首先运用正弦定理可得 b ? 4 3 sin B , c ? 4 3 sin C ,然后代 入 b ? c 并运用 三角形内角和为 ? 将其化简为关于角 B 的三角形式,再根据三角函数的图像及其性质即可得 出所求的 结果. 试题解析: (1)由条件结合诱导公式得, 所以 cos A ? 0 , tan A ? 3 ,因为 0 ? A ? ? ,所以 ( 2 ) 由正 弦定理 得: 从而

A?

?
3.

b c 6 ? ? ? 4 3 ,所 以 b ? 4 3 sin B , c ? 4 3 sin C , 所以 sin B sin C sin ? 3

2? ? ? b ? c ? 4 3(sin B ? sin C) ? 4 3 ?sin B ? sin( ? B)? 3 ? ?
?3 ? ? 3 ? 3 1 ? 4 3? sin B ? cos B ? ? ? ? 2 sin B ? 2 cos B ? ? ? 12 ? 2 ? ? ? 2 ?

?? ?? ? ? 5? ? ? ,所以 6 ? 12sin ? B ? ? ? 12 ,即 6 ? b ? c ? 12 (当且仅当 ? 12sin ? B ? ? ,因为 ? B ? ? 6 6 6 6? 6? ? ?
B?

?
3

时,等号成立) .

20. 【答案】 (Ⅰ) an ? 2n ? 1 ; (Ⅱ) S n ? n ? 2n ?
2

3 3n?1 ? . 2 2
?a1 ? 4d ? 11 , ?2a1 ? 6d ? 18

试题解析: (Ⅰ)设 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d ,则由 a 5 ? 11, a 2 ? a 6 ? 18 得 ? 解得 a1 ? 3, d ? 2, 所以 an ? 2n ? 1 ;
n (Ⅱ)由 a n ? 2n ? 1 得 bn ? 2n ? 1 ? 3 .]

1 2 3 n Sn ? ? ?3 ? 5 ? 7 ? ? ? ? 2n ? 1? ? ? ? ?3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ?

? n ? 2n ?
2

3 ?1 ? 3n ? 1? 3

3 3n ?1 ? n 2 ? 2n ? ? 2 2
9 2

21.【答案】 (1) f ?( x) ? 3x2 ? 2kx ? 4 (2)

?

50 27

2] (3) [ ?2,

【解析】 试题分析:在求导函数时要注意,先将函数进行最简化形 式,再进行求导,极值点即为导函

-7-

数为 0 时,x 的值,在区间里求最大最小值时,如果极值点在区间范围里,就需要将极值点以 及区间最大最小的 x 值均带入原函数进行求解,对比找出最大最小值即可,将单调递增区间 的中的-2,2 带入导函数,且导函数大于 0, (此为递增性质)列出方程组,解出 k 的范围即为 最后小问答案。 试题解析: (1)? f ( x) ? x3 ? kx2 ? 4x ? 4k ,

∴ f ?( x) ? 3x2 ? 2kx ? 4 .
(2)由 f ?(?1) ? 0 ,得
1 k ?? . 2 1 ? f ( x) ? x3 ? x2 ? 4x ? 2 , f ?( x) ? 3x2 ? x ? 4 2 由 f ?( x) ? 0 ,得
x ? ?1 或 x ?

4 . 3

又 f (?2) ? 0 , f (?1) ?

9 , 2

50 ?4? f ? ??? , f (2) ? 0 , 3 27 ? ?

∴ f ( x) 在区间 [ ?2, 2] 上的最大值为

9 50 ,最小值为 ? . 2 27

(3) f ?( x) ? 3x2 ? 2kx ? 4 的图象是开口向上且过点 (0,- 4) 的抛物线. 由已知,得

? f ?(?2) ? ?4k ? 8 ? 0, ? ? f ?(2) ? 4k ? 8 ? 0,
∴ ? 2 ? k ? 2, 2] . ? k 的取值范围为 [ ?2,

考点:函数性质的运用 22【答案】 (Ⅰ)f(x)单调递减区间是(

1 1 ,+ ? ) ,f(x)单调递增区间是(0, ) e e

(Ⅱ) f ( x) min

1 ? 1 ? ,0 ? t ? ? ? e e ?? , (Ⅲ)a ? -2 ? t ln t , t ? 1 ? e ?

【解析】

1 , +?) , e 3 1 3x 1 1 ? f(x)单调递增区间是(0, )求出最值, a ? ln x ? x ? ,设 h? x ? ? ln x ? , 2 2x 2 2x e 求出 h(x)的最值 ,? a ? ?2 1 f ' ( x) ? ln x ? 1, 令f ' ?x ? ? 0, 解得 0 ? x ? , 试 题 解 析 : ( Ⅰ ) e
试题分析: 先求出导数的正负确定单调性求出单调区间, 由 f (x) 单调递减区间是 (
-8-

? 1? ? f ?x ?的单调递减区间是 ? 0, ?; ? e?
1 ?1 ? 令f ' ?x ? ? 0, 解得 x ? , ? f ?x ?的单调递减区间是 ? ,?? ?. e ?e ?
1 ,t 无解; e 1 1 1 1 (ⅱ)0<t< <t+2,即 0<t< 时, f ( x) min ? f ( ) ? ? ; e e e e 1 1 (ⅲ) ? t ? t ? 2 ,即 t ? 时, f ( x)在[t , t ? 2]单调递增, f ( x) min ? f (t ) ? tlnt e e
(Ⅱ) (ⅰ)0<t<t+2<

1 ? 1 0?t ? ?e ? f ( x) min ? e , 1 ? t? ?tlnt e
(Ⅲ)由题意: 2xlnx≤3x +2ax-1+2 即 2xlnx≤3x +2ax+1 ∵x∈(0,+∞),∴a≥lnx设 h(x)= lnx2 2

3 1 x2 2x

3 1 xx,在(0,+∞)上恒成立, 2 2x ?x ? 1??3x ? 1? 1 3 1 ' ?? 则 h ?x ? ? ? ? 2 x 2 2x 2x 2 1 ' 令 h ?x ? ? 0 ,得 x ? 1, x ? ? (舍) 3
' ' 当 0 ? x ? 1 时, h ?x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, h ?x ? ? 0

? 当 x ? 1 时, h?x ? 取得最大值, h?x ? max =-2

? a ? ?2 .
考点:导数的应用。

-9-



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